ネータースキーム

代数幾何学において、ネータースキーム (noetherian scheme) は ${\displaystyle A_{i}}$ をネーター環として開アフィン部分集合 ${\displaystyle \operatorname {Spec} A_{i}}$ による有限被覆をもつスキームである。より一般に、スキームが局所ネーター (locally noetherian) であるとは、それがネーター環のスペクトルによって被覆されるということである。したがって、スキームがネーターであることと局所ネーターかつ準コンパクトであることは同値である。ネーター環と同様、概念はエミー・ネーター (Emmy Noether) にちなんで名づけられている。

局所ネータースキームにおいて、${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ が開アフィン部分集合であれば、A はネーター環であるということを示すことができる。特に、${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ がネータースキームであることと A がネーター環であることは同値である。X を局所ネータースキームとする。このとき局所環 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ はネーター環である。

ネータースキームはネーター位相空間である。しかし逆は一般には間違いである。例えば、非ネーター付値環のスペクトルを考えよ。

定義は形式スキームに拡張する。

参考文献

• Robin Hartshorne, Algebraic geometry.